Question

如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF

求证：BG=GC
过程。

Answer 1

过程有些繁琐~~~~
证明：由对折，得：∠AFE=∠D=90°，AD=AF
又正方形ABCD中，AD=AB
∴AB=AF
∵∠AFG=180°-90°=90°=∠B，AG=AG
∴Rt△ABG≌Rt△AFG
∴BG=GF
可设BG=GF=x
∴CG=BC-BG=BC-x=CD-x
∵CE=2DE
∴CE=2/3CD，DE=1/3CD
由对折，得：EF=DE=1/3CD
∴EG=EF+FG=1/3CD+x
∵Rt△CEG中，GE²=CG²+CE²
∴（1/3CD+x）²=（CD-x）²+（2/3CD）²
……（解答过程省略，要就hi我吧）
∴x=1/2CD
∴BG=1/2CD=1/2BC
CG=CD-x=CD-1/2CD=1/2CD=1/2BC
∴BG=CG

Answer 2

利用赋值法，令正方形ABCD的边长为3。
∵ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3、∠ABG＝∠ADE＝∠ECG＝90°。
∵CE＝2DE，∴CE＝2、DE＝1。
显然有：EF＝DE＝1、∠AFE＝∠ADE＝90°、AF＝AD＝3。
∵AB＝3、AF＝3，∴AB＝AF，又∠ABG＝∠AFG＝90°、AG＝AG，∴△ABG≌△AFG，
∴BG＝FG。

设CG＝x，则：BG＝FG＝3－x，∴EG＝EF＋FG＝1＋（3－x）＝4－x。
由勾股定理，有：EG^2＝CE^2＋CG^2，∴（4－x）^2＝4＋x^2，∴16－8x＋x^2＝4＋x^2，
∴8x＝16－4＝12，∴x＝3/2，∴CG＝3/2。
由CG＝3/2、BC＝3，得：BG＝CG。