Question

初二数学题 求高人指点！要详细解题过程

例2：菱形ABCD中，DE⊥AB于E, BF⊥CD于F, G、H分别是AD和BC边上两点(G与A、D不重合，H与B、C不重合)．联结EG、GF、FH、HE.
(1) 当线段AG= 时,四边形GEHF是平行四边形．证明你的结论．
(2) 在(1)的条件下,当线段AG= 时, 四边形GEHF是矩形．证明你的结论．
(3) 拓展与思考：在(2)的条件下,当∠A= 度时，四边形GEHF是正方形．证明你的结论．

Answer 1

(1)、当线段AG=HC时。
∵ABCD是菱形，DE⊥AB于E, BF⊥CD于F，∴EB=DF，AE=CF。若AG=HC，有GD=BH，可证△GDF≌△EBH，△AGE≌△CHF，得GF=EH，GE=HF，∴GEHF是平行四边形。
(2)、在(1)的条件下，当线段AG= AE时GEHF是矩形。因为这时（1）中两对全等三角形分别是两对等腰三角形，由∠A=180°-∠ADC，可得∠AGE=90°-∠DGF，∠EGF=90°，故GEHF是矩形。
(3)、：在(2)的条件下，当∠A=45°时，四边形GEHF是正方形。证明如下。连接DH、DB，
∵∠A=45°，∴∠ADB=67.5°，∵DE⊥AB，∴AE=DE，∠ADE=45°，∠EDB=22.5°。
由于菱形及长方形的轴对称特性，可知DE=DH，∠EDH=22.5°+22.5°=45°，
从而两等腰三角形△AEG≌△DEH，EG=EH，故GEHF是正方形。
另一方面，在题设条件下，若GEHF是正方形，连接AC、BD得中心O点，连接EF，则EF必过O点，在直角三角形△DEB中，OE=OB=OD，∠EOB=45°，则∠OBE=67.5°，∠OAB=22.5°，必有∠DAB=45°。可见在题设条件下，当且仅当∠A=45°时，GEHF才是正方形。

Answer 2

1，当线段AG=HC时。
因为ABCD是菱形。AG=HC，所以GD=BH,EB=DF,角EBH=GDF ,三角形GDF全等于三角形EBH，
故GF=EH.
同理可证三角形FCH等于AGE，所以叫FGE=EHF。
所以四边形GEHF是平行四边形。
2， 当AG=AE时，为矩形。
因为AG=AE，所以三角形AGE为等腰，ABCD为菱形，姑AGE等于FHC。
AG=HC（1证明过) 所以GEHF是平时四边形。
同理可证，平形四边形周围的都是等要的，很容易得到它的内角是90.
3.这一问我感觉角A等于多少度都GEHF都可以是正方形，主要在于菱形边长上的几个点的移动。
如果你硬要些，就写90度吧。
很好证明菱形是正方形了，又有上面的条件，很容易得到AG=BH，在根据上面的证明，便可得到边长相等。