Question

已知向量a=（sinx，1），b=（cosx，-1/2）

1.当a垂直b时求|a+b|
2.若不等式k|a+b|≥根号下3+2ab 对x属于[0,π/2]恒成立，求实数k的取值范围 3+2ab都在根号里

Answer 1

1. a垂直b
sinxcosx-1/2=0 sinxcosx=1/2
a+b=(sinx+cosx,1/2)
|a+b|=√[(sinx+cosx)^2+1/4]=√(1+2sinxcosx+1/4)=√9/4=3/2

2. k|a+b|=k√(5/4+sin2x)
√(3+2ab)=√(3+2(sinxcosx-1/2))=√(2+sin2x)
x属于[0,π/2] -1<=sin2x<=1 k>0
k√(5/4+sin2x)>=√(2+sin2x) 平方
5k^2/4+k^2sin2x>=2+sin2x
(k^2-2)sin2x>=2-5k^2/4
(1) k^2-2>0 k>√2
sin2x>=(8-5k^2)/4(k^2-2)
(8-5k^2)/4(k^2-2)<=-1
8-5k^2<=8-4k^2 k^2>=0 成立
（2）k=√2
0>2-10/4 成立
（3）0<k<√2
sin2x<=(8-5k^2)/4(k^2-2)
(8-5k^2)/4(k^2-2)>=1
8-5k^2<=4k^2-8
k^2>=16 k>=4 交集为空
所以 k>=√2