Question

已知o是△abc内一点。求证1/2＜(OA+OB+OC)/(AB+BC+CA)＜1

Answer 1

在△OAB中，OA+OB>AB (两边之和大于第三边）
同理得OB+OC＞BC OA+OC＞AC
三式相加得2（OA+OB+OC)＞AB+BC+AC
OA+OB+OC＞（AB+AC+BC)/2
1/2＜(OA+OB+OC)/(AB+BC+CA)

同样在 在△OAB中，由于O点位于三角形内，角BAC和角BOC所对的边都为BC，则有AB+AC>OB+OC
同理有CA+CB>OA+OB ， BA+BC>OA+OC
三式相加则得2(AB+BC+CA)>2(OA+OB+OC) ==>(OA+OB+OC)/(AB+BC+CA)<1

Answer 2

在△OAB中，OA+OB>AB (两边之和大于第三边）
同理得OB+OC＞BC OA+OC＞AC

三式相加得2（OA+OB+OC)＞AB+BC+AC
OA+OB+OC＞（AB+AC+BC)/2
1/2＜(OA+OB+OC)/(AB+BC+CA)＜1

Answer 3

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边？想想？