Question

已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，f(1)=0 ，xf'(x)-f(x)>0 (x>0) ，则不等式 f(x)>0 的解集是

解题过程

Answer 1

由题意，xf'(x)-f(x)>0，即(xf(x))'>0, 即函数y=f(x)/x在x>0上为增函数.
又y=x在x>0上为增函数，则函数y=f(x)=(f(x)/x)*x在x>0为增函数.
于是由f(1)=0, 则f(x)>0, 即f(x)>f(1)，x>1, 又由于此时是当x>0时，即x>1；
又由于f(x)为奇函数，则f(0)=0, f(-1)=0, 且其在x<0上亦为增函数.
于是由f(x)>0, f(x)>f(-1), 得x>-1. 亦即-1<x<0
综上，不等式 f(x)>0 的解集是-1<x<0或x>1。

Answer 2

[xf'(x)-f(x)]/x^2
=[f(x)/x]'>0
所以函数f(x)/x单增
又由于x>0，所以， f(x)>0也就是f(x)/x>0
f(1)=0
因此不等式 f(x)>0 的解集是
x>1

Answer 3

令g（x）=f（x）/x,
则由已知有g'(x)在x＞0时恒正，故g单增，且g为偶函数，
x＞0时，f大于0等价于g大于0，
由g(1)=0，且g单增推出x＞1，
x＜0时f大于0等价于g小于0，由g为偶函数可知-1＜x＜0

追问

x=0时，会怎么样