Question

设函数f(x)=x^3+bx^2+cx,已知g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数，求b,c的值和g(x)的极值。

Answer 1

∵f′(x)=3x²+2bx+c
∴g(x)=f(x)-f'(x)
＝x³+bx²+cx－3x²－2bx－c
＝x³＋﹙b－3﹚x²＋﹙c－2b﹚x－c
∵g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数
∴b－3＝0 ,c＝o
∴b＝3, c＝0
∴f′(x)=3x²+6x＝3x﹙x＋2﹚
由 3x﹙x＋2﹚＝0得
x＝0 或x＝﹣2
∴0 和﹣2是极值点
极大值是f(0)=0，极小值是f﹙﹣2﹚＝4

Answer 2

把f(x)的导数求出，与f(x)相加得g(x),再用g(-x)=-g(x);g(0)=0,得出b,c的值，然后极值就好求了。

Answer 3

∵f′(x)=3x²+2bx+c
∴g(x)=f(x)-f'(x)
=x³+bx²+cx-3x²-2bx-c
=x³+﹙b-3﹚x²+﹙c-2b﹚x-c
∵g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数
∴b-3=0
,c=o
∴b=3,
c=0
∴f′(x)=3x²+6x=3x﹙x+2﹚
由
3x﹙x+2﹚=0得
x=0
或x=﹣2
∴0
和﹣2是极值点
极大值是f(0)=0，极小值是f﹙﹣2﹚=4