Question

高三数学求导

函数f(x)=a^x-x的极值点
对x属于R使f(x)>=0恒成立,求a的取值范围(a>0且不等于1

Answer 1

考虑a>1和1>a>0两种情况
1）1>a>0的时候
画图考虑
a^x随x增大而减小，在x趋近无穷的时候函数趋近于0
-x随x增大而减小，在x趋近无穷的时候函数趋近于负无穷
所以这种情况下f(x)=a^x-x不可能恒大于0
2)a>1的时候
函数值先减小后增大
函数在定义域内（整个实数空间）连续可导
f'(x)=lna*a^x-1
f'(x)=0的时候 x=loga(1/lna)
验证：x=loga(1/lna)的时候f''(x)不等于0，所以是极值点（极小值）
此时f(x0)=(1/lna) - loga(1/lna)=[1-ln(1/lna)]/lna
当a>e^(1/e)，有f(x0)>0———(即最小点值＞0，函数在定义域内恒大于0)
所以a>e^(1/e)是问题的解

不知解错没有，思路是这样的，希望能帮助你~~

Answer 2

的确是不对的
f'(a)=0说明f(x)在a处的切线斜率为0，但切线斜率为0的点，不一定为极值点
例如：f(x)=x^3，在x=0出f'(x)=0，但原函数在x=0处无极值点
有不懂欢迎追问

Answer 3

解

见图

Answer 4

0

Answer 5

是1/e?

Answer 6

f'(x)=a^xIna-1 有取值范围不？