Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,点E是线段AD上的一个动点（E与A,D不重合）,G,F,H分别是BE,BC,CE的中点。

（1）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？并加以说明;
（2）若（1）小题中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF余与线段BC的关系，并证明你的结论。

Answer 1

（2）若EGFH为菱形，则GF=GE=EH=HF
∵EG=1/2BE EH=1/2CE
∴BE=CE
∴角EBC=角ECB
∵等腰梯形ABCD 角ABC=角DCB
又角ABE=角ABC-角EBC
角DCE=角DCB-角ECB
∴角ABE=角DCE
然后就是ΔABE与ΔDCE边角边全等
∴AE=ED
当E运动到AD中点位置时，四边形EGFH为菱形

（3）EF⊥BC 且 EF=BF=1/2BC
∵四边形EGFH为正方形
∴角BEC=90度
则角EBC=角ECB=45度

∵EB=EC,F为BC中点
∴中线EF⊥BC
则角BEF=45度=角EBC
∴EF=BF=1/2BC

Answer 2

（1）当点E运动到边AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
理由：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A=∠D，AB=CD，
在△ABE和△DCE中，
AB=DC∠A=∠DAE=DE​，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，
∵G、F、H是BE、BC、CE的中点，
∴FH=EG=12BE，FG=EH=12CE，
∴EG=FG=FH=EH，
∴四边形EGFH是菱形；

（2）EF=12BC．垂直．
证明：∵四边形EGFH是正方形，
∴∠BGF=∠CHF=90°，
∵FG=EG=BG=FH=EH=CH，
∴△BGF≌△FHC，
∴BF=FC，
∵BE=CE，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴EF=12BC，EF⊥BC．

Answer 3

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