Question

第二型曲面积分用高斯公式的一道题

∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy,面是x^2+y^2=z^2介于z=0和z=h，h>0，间的部分下侧。我算了好几遍都得0，但答案给的是-∏/2h^4,谁能帮我算一下，我那里算错了，求具体步骤

Answer 1

结果应该为-πh^4/2 ,而不是-∏/2h^4 更不是0

解答：这道题目满足高斯公式的条件，所以用高斯公式很简单。先添加平面z=h，取上侧。构成一个封闭的曲面，这个封闭曲面整个外侧方向。
于是∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=2∫∫∫（x+y+z）dxdydz -∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy(减去的这个积分曲面为z=h ，注最后一定要减去这个添加的平面)
先计算三重积分2∫∫∫（x+y+z）dxdydz =2∫∫∫z dxdydz （这里利用了对称性，因为此三重积分的区域关于平面X=0和y=0对称，且被积式分别为x和y的奇次方，所以它们的积分值为0 ）于是只需要计算 2∫∫∫z dxdydz =2∫（0,2π)dθ∫(0,h) ρ dρ ∫(ρ,h) z dz =πh^4/2
而∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy（积分曲面为z=h上侧）=前两项值为0，因为平面z=h分别向x=0 和y=0面投影时的面积为0（实际上投影面为一个线段，知道为什么为0吗？这是因为dydz=cosα dS ,其中cosα=cos90°=0），所以曲面积分的值为0 。于是只需要计算后面∫∫z^2dxdy =∫∫h^2dxdy 这里已经转化为一个二重积分了 ，根本不需要计算，直接=πh^4

最后结果为πh^4/2 - πh^4 = -πh^4/2

Answer 2

解：令p=2x，q=yz，r=-z²
∵αp/αx=2，αq/αy=z，αr/αz=-2z
∴根据高斯公式得
原式=∫∫∫
(αp/αx+αq/αy+αr/αz)dxdydz
(v是s围城的空间区域)
=∫∫∫
(2-z)dxdydz
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫
(2-z)dz
(应用柱面坐标变换)
=2π∫<0,1>[2r√(2-r²)-r-2r²+r³]dr
=2π[(-2/3)(2-r²)^(3/2)-r²/2-(2/3)r³+r^4/4]│<0,1>
=2π(-1/2-2/3+1/4+2/3)
=-π/2。