Question

如图:已知△ABC中，∠B=2∠C,BC=2AB.AD是BC边上的中线，说明△ABD是等边三角形。

提示：过点B作∠B的平分线交AC于点E,联结ED
大家帮帮忙，谢谢了。

Answer 1

过点B作∠B的平分线交AC于点E,连接ED
因为1/2∠ABC=∠C，∠CBE=1/2∠ABC
所以∠C=∠CBE
所以△CBE是等腰△
又因为三线合一、D是BC的中点
所以DE⊥BC
即∠BDE=90°
依题意得∠CBE=∠ABE
因为AB=1/2BC，BD=1/2BC
所以AB=BD
因为在△ABE和△DBE中
AB=BD
∠CBE=∠ABE
BE=BE
所以△ABE≌△DBE（SAS）
所以∠BAC=∠BDE=90°
所以△ABC是Rt△
又因为AD是△ABC斜边的中线
所以AD=1/2BC=BD
因为AB=BD=AD
所以△ABD是等边三角形

Answer 2

证明：过点B作∠B的平分线交AC于点E,联结ED
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠CBE
∵∠ABC＝2∠C
∴∠C＝∠ABE＝∠BCE
∴CE＝BE
∵D为BC的中点
∴BD＝CD＝1/2BC
∴ED⊥BC （等腰三角形高、中线、角平分线三线合一）
∴∠EDB＝90
∵BC＝2AB
∴AB＝BD
∵BE＝BE
∴△ABE≌△DBE
∴∠BAE＝∠EDB＝90
∴∠ABC+∠C＝90
∴∠ABC+1/2∠ABC＝90
∴∠ABC＝60
∴等边△ABD

Answer 3

证明：过点B作∠B的平分线交AC于点E,联结ED
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠CBE
∵∠ABC＝2∠C
∴∠C＝∠ABE＝∠BCE
∴CE＝BE
∵D为BC的中点
∴BD＝CD＝1/2BC
∴ED⊥BC （等腰三角形高、中线、角平分线三线合一）
∴∠EDB＝90
∵BC＝2AB
∴AB＝BD
∵BE＝BE
∴△ABE≌△DBE
∴∠BAE＝∠EDB＝90
∴∠ABC+∠C＝90
∴∠ABC+1/2∠ABC＝90
∴∠ABC＝60
∴等边△ABD