Question

如图所示；抛物线y=x2+bx+c与x轴交A（-1，0），B（3，0）两点。

1.求该抛物线的解析式。2.（1)中的抛物线上有一个动点p，当点p在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S三角形PAB=8，并求出此时p点的坐标。3.设（1)中抛物线交y轴于c点，在该抛物线的对称轴上是否存在点q，使得三角形qac的周长最小？若存在，求出q点的坐标；若不存在，请说明理由。请一一帮我分析过程和解题运用的知识点与方法

Answer 1

1﹚
根据题意得：1－b＋c=0
9＋3b＋c=0 解得b=﹣2，c=﹣3
该抛物线的解析式：y=x²－2x－3
2﹚
设：P﹙m，n﹚ AB=4
∴S ⊿PAB=½AB • |n|=2• |n| 即 2•|n|=8 ∴ n=±4
当n=4时，m²－2m－3=4 ∴m=1±2√2 ∴P﹙1＋2√2，4﹚或P﹙1－2√2，4﹚
当n=－4时，m²－2m－3=﹣4 此时m=1 ∴P﹙1，－4﹚
∴有三种情况：P﹙1＋2√2，4﹚、或P﹙1－2√2，4﹚、或P﹙1，－4﹚
3﹚存在
C﹙0，－3﹚ 该抛物线的对称轴是：直线x=1
则点C的对称点是D﹙2，－3﹚
设：直线AD为：y=kx＋b 过A﹙－1，0﹚、D﹙2，－3﹚
∴ －k＋b=0
2k＋b=－3 解得 k=－1，b=－1 ∴直线AD是：y=－x－1
直线AD与抛物线的对称轴：直线x=1的【交点】就是Q点 x=1，y=－1－1=－2
∴Q﹙1，－2﹚
【原因】⊿QAC的周长=QA＋QC＋AC其中AC是固定不变
因此：要使⊿QAC的周长最小，就必须QA＋QC最小
而点C、D关于直线x=1对称 所以直线x=1是线段CD的垂直平分线﹙轴对称的性质﹚
∴直线x=1上的任意一点到C、D的距离相等
∴PC=PD ∴PA＋PC=PA＋PD=AD
另外：在直线x=1上【【任意】】取一点M 同样道理：MC=MD
而M点到A、C的距离和是：MA＋MC
∴MA＋MC=MA＋MD＞AD﹙两点之间，线段最短——AD最短﹚
PA＋PC最短

追问

谢谢，看得出你数学很好，我的数学需要提高，你愿意帮我吗。我的qq是1528619585.你愿意加我吗，这样我有问题可以问问你

追答

可以，不过我只在周六、日有空

追问

嗯，谢谢呀，不过还没看到你加我呀。我的qq是1528619585

Answer 2

1、代入A、B解得y=x2-2x-3；
2、易知AB=4，S三角形PAB=8即P的高度为4，即P的y为+-4，
所，4=x2-2x-3或-4=x2-2x-3，解得P为（1-2√2,4）、（1+2√2,4）或（1,-4）
3、c为（0，-3），过对称轴作c的对称点d，连接ad交对称轴于m，三角形qac的周长为ac+aq+cq=ac+aq+dq，当q与m重叠时三角形qac的周长最小，易求得q为（2，-2）

Answer 3

解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（3，0），
∴{(-1)2-b+c=032+3b+c=0
解得{b=-2c=-3．
∴所求解析式为y=x2-2x-3．
（2）设点P的坐标为（x，y），
由题意：S△PAB=12×4|y|=8，
∴|y|=4，
∴y=±4．
当y=4时，x2-2x-3=4，
∴x1=22+1，x2=-22+1；
当y=-4时，x2-2x-3=-4，∴x=1，
∴满足条件的点P有3个，
即（22+1，4），（-22+1，4），（1，-4）．

（3）在抛物线对称轴上存在点Q，使△QAC的周长最小．
∵AC长为定值，
∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小，
∵点A关于对称轴x=1的对称点是（3，0），
∴Q是直线BC与对称轴x=1的交点，
设过点B，C的直线的解析式y=kx-3，把B（3，0）代入，
∴3k-3=0，
∴k=1，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
把x=1代入上式，
∴y=-2，
∴Q点坐标为（1，-2）．

追问

为什么直线BC与对称轴X=1的交点是AQ与CQ的最小值，这有什么依据或是运用了什么知识点

追答

对称性。以前有一道在河的两岸距离和最小的那种题，你有印象吧，和那个原理一样

追问

嗯，谢谢。