Question

已知椭圆x^2/4+y^/1=1,点M（2，3），过点M引直线交椭圆于AB两点，求弦AB的中点P的轨迹方程

Answer 1

设A(x1，y1)B(x2，y2)，其中点P(x0，y0)，则：x1 + x2 = 2x0，y1 + y2 = 2y0
易证M在椭圆外，假设过M的直线L斜率是存在的，设为k，根据点斜式可得L：y - 3 = k(x - 2)
把A、B坐标代入椭圆方程：
(x1)^2/4+(y1)^2/1=1
(x2)^2/4+(y2)^2/1=1
相减、整理可得：(x1)^2 - (x2)^2 = (-4)·[(y1)^2 - (y2)^2]
即：[(y1 - y2)/(x1 - x2)]·[(y1 + y2)/(x1 + x2)] = -1/4
∵x1 + x2 = 2x0，y1 + y2 = 2y0，根据斜截式：k = [(y1 - y2)/(x1 - x2)]
∴k·[(y0)/(x0)] = -1/4，∴k = -x0/4y0，代入直线方程：
y - 3 = (-x/4y) ·(x - 2)
∴4(y^2 - 3y) + x(x - 2) = 0
∴4[y - (3/2)]^2 + (x - 1)^2 = 10......T式
当k不存在，即L垂直x轴时，可算得L此时与椭圆相切，∴不可能有A、B两个交点
∴化简T式可得弦AB的中点P的轨迹方程：
[(x - 1)^2/10] + {[y - (3/2)]^2/(5/2)} = 1 ，这是椭圆