Question

已知椭圆C:x^2+y^2/4=1,直线l y=mx+1,设l交C于AB两点,求AB中点M的轨迹方程,麻烦详细点

Answer 1

解：设点A为（x1,y1），B（x2,y2），中点（x,y），那么
x=（x1+x2）/2。，y=（y1+y2)/2
将y=mx+1带入x^2+y^2/4=1，得到（4+m²）x²+2mx-3=0，所以
x1+x2=-2m/（4+m²），y1+y2=mx1+1+mx2+1=m（x1+x2）+2=-2m²/（4+m²）+2，所以
x=-m/（4+m²），y=-m²/（4+m²）+1
消除m得到4x²+（y-1/2)²=1/4

Answer 2

设A(x1,y1),B(x2,y2),
M(x0,y0),
根据中点公式 ,x0=(x1+x2)/2,
y0=(y1+y2)/2.
x1^2+y1^2/4=1,(1)
x2^2+y2^2/4=1,(2)
(1)-(2)式,
(x1^2-x2^2)+(y1^2-y2^2)/4=0,
4+[(y1-y2)/(x1-x2)]*[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=0,
(y1-y2)/(x1-x2)为直线的斜率,为m,
∴4+m*y0/x0=0,
y0/x0=-4/m,
换成x,y
∴AB中点的轨迹方程为:y=(-4/m)x.

追问

(x1^2-x2^2)+(y1^2-y2^2)/4=0,这一步知道,到了这一步4+[(y1-y2)/(x1-x2)]*[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=0,
(y1-y2)/(x1-x2)为直线的斜率,为m,就不知道怎么来的,麻烦可以说详细点吗

追答

用到点差法,把A、B两点坐标代入椭圆方程，然后两式左右相减，得到(x1^2-x2^2)+(y1^2-y2^2)/4=0,
然后因式分解，(x1-x2)(x2+x2)+(y1-y2)(y1+y2)/4=0,
经变形，4+[(y1-y2)/(x1-x2)]*[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=0,
AB直线方程斜率用两点式，k=(y1-y2)/(x1-x2),已知直线y=mx+1, 其斜率为m,
用m替换(y1-y2)/(x1-x2),中点坐标x0,y0替换[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]，即得结果。

Answer 3

y=mx+1
4x^2+y^2=4
4x^2+(mx+1)^2=4
(4+m^2)x^2+2mx-3=0
delta=4m^2-4*(4+m^2)*(-3)
=16m^2+48>0
根据韦达定理
x1+x2=-2m/(4+m^2)
中点横坐标-m/(4+m^2)
中点纵坐标4/(4+m^2)