Question

已知椭圆C:4x^2+y^2=1及直线l:y=x+m.(1) 求直线l被椭圆C截得的弦的中点的轨迹.(2)若直线l交椭圆C于P.Q...

已知椭圆C:4x^2+y^2=1及直线l:y=x+m.(1) 求直线l被椭圆C截得的弦的中点的轨迹.(2)若直线l交椭圆C于P.Q两点,且OP垂直于OQ,求直线l的方程
第（1）小题要过程

Answer 1

设直线和椭圆交于P、Q两点，P（x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M（x0,y0),
x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2,
b=1/2,a=1,焦点在Y轴，c=√3/2，
4x1^2+y1^2=1,(1)
4x2^2+y2^2=1,(2)
(1)-（2）式，
4+[(y1-y2)/(x1-x2)][(y1+y2)/2]/[(x1-x2)/2]=0,
直线l:y=x+m.=1,
(y1-y2)/(x1-x2)=k=1,
4+1*y0/x0=0,
y0/x0=-4,
把x0,y0换成动坐标x,y,
∴中点轨迹为y=-4x.
2、y=x+m,代入椭圆方程，
4x^2+(x+m)^2=1,
5x^2+2mx+m^2-1=0,
根据韦达定理，
x1+x2=-2m/5,
x1x2=(m^2-1)/5,
∵向量OP⊥OQ，
∴x1x2+y1y2=0,
y1=x1+m,
y2=x2+m,
y1y2=x1x2+m(x1+x2)+m^2,
x1x2+y1y2=x1x2+x1x2+m(x1+x2)+m^2=0,
2(m^2-1)/5+m*(-2m/5)+m^2=0,
m^2=2/5,
m=±√10/5，
∴直线方程为：y=x±√10/5.

Answer 2

(1)直线L被椭圆C截得的弦AB的中点M(x,y)
xA+xB=2x,yA+yB=2y
k(AB)=(yA-yB)/(xA-xB)=k(L)=1
[4(xA)^2+(yA)^2]-[4(xB)^2+(yB)^2]=1-1=0
4(xA+xB)*(xA-xB)+(yA+yB)*(yA-yB)=0
4(xA+xB)+(yA+yB)*(yA-yB)/(xA-xB)=0
4*2x+2y*1=0
4x+y=0
(2)
y=x+m
4x^2+y^2=1
4x^2+(x+m)^2=1
5x^2+2mx+m^2-1=0
xP+xQ=-2m/5,xP*xQ=(m^2-1)/5
yP*yQ=(xP+m)*(xQ+m)=xP*xQ+(xP+xQ)m+m^2
(yP/xP)*(yQ/xQ)=-1
xP*xQ+yP*yQ=0
xP*xQ+xP*xQ+(xP+xQ)m+m^2=0
2xP*xQ+(xP+xQ)m+m^2=0
2*(m^1-1)/5+(-2m/5)m+m^2=0
m^2=2/5
m=±√(2/5)
直线L方程：y=x±√(2/5)

Answer 3

1，设直线与椭圆焦点坐标为（x1，y1）（x2，y2）
联立2方程的5x^2+2mx+m^2-1=0
suoyi :x1+x2=-2m/5
中点坐标为[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]即为（-m/5，4/5*m）所以直线防尘为y=-4x
2，由题意知：
（y1/x1）*（y2/x2）=-1
其中x1*x2=（m^2-1)/5
y1*y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m^2=(4m^2-1)/5
带入解出m=+-√（2/5）
直线l的方程：y=x+-√（2/5）

Answer 4

1、设中点为(x,y)两交点坐标P(x1,y1) Q(x2,y2)
4x^2+y^2=1 y=x+m
4x²+(x+m)²=1
5x²+2mx+m²-1=0
4m²-20(m²-1)=-16m²+20≥0
-√5/2≤m≤√5/2
x=x1+x2=-2m/5
y=y1+y1=x1+x2+2m=-2m/5+2m=8m/5
y=-4x(-√5/5≤x≤√5/5)
是一线段
2、设两交点坐标P(x1,y1) Q(x2,y2)
∵OP垂直于OQ
∴y1/x1×y2/x2=-1
y1y2/x1x2=-1
由1、得
x1x2=（m²-1)/5
y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m²=(m²-1)/5-2m²/5+m²=(4m²-1)/5
∴4m²-1=-(m²-1)
m=√10/5 m=-√10/5
直线l的方程
y=x+√10/5 y=x-√10/5

Answer 5

（1）将l中y=x+m带入C，5x^2+2mx+m^2-1=0,则x1+x2=-m/5；将x=y-m带入C，5y^2-8my+4m^2-1=0,y1+y2=4m/5。综上，中点x=(x1+x2)/2=-m/10,y=(y1+y2)/2=2m/5,将m=-10x带入y求得：y=-4x
（2）op垂直0q 则op的k乘以oq的k等于-1，y1/x1*y2/x2=-1,(y1y2)/(x1x2)=-1,由（1）中（4m^2-1）/(m^2-1)=-1,求得m^2=2/5.