Question

已知椭圆C:4x^2+y^2=1及直线l:y=x+m,(1)求直线l被椭圆C截得的弦的中点的轨迹(2)若直线l交椭圆C于P,Q两点%

已知椭圆C：4x^2+y^2=1及直线l：y=x+m，（1）求直线l被椭圆C截得的弦的中点的轨迹（2）若直线l交椭圆C于P,Q两点，且OP垂直OQ,求直线l的方程

Answer 1

设直线和椭圆交于P、Q两点，P（x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M（x0,y0),
x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2,
b=1/2,a=1,焦点在Y轴，c=√3/2，
4x1^2+y1^2=1,(1)
4x2^2+y2^2=1,(2)
(1)-（2）式，
4+[(y1-y2)/(
x1-x2)][(y1+y2)/2]/[(x1-x2)/2]=0,
直线l:y=x+m.=1,
(y1-y2)/(x1-x2)=k=1,
4+1*y0/x0=0,
y0/x0=-4,
把x0,y0换成动坐标x,y,
∴中点轨迹为y=-4x.
2、y=x+m,代入椭圆方程，
4x^2+(x+m)^2=1,
5x^2+2mx+m^2-1=0,
根据韦达定理，
x1+x2=-2m/5,
x1x2=(m^2-1)/5,
∵向量OP⊥OQ，
∴x1x2+y1y2=0,
y1=x1+m,
y2=x2+m,
y1y2=x1x2+m(x1+x2)+m^2,
x1x2+y1y2=x1x2+x1x2+m(x1+x2)+m^2=0,
2(m^2-1)/5+m*(-2m/5)+m^2=0,
m^2=2/5,
m=±√10/5，
∴直线方程为：y=x±√10/5.