Question

已知直线l：y=x+1,圆O：x^2+y^2=3/2.高三数学大题

已知直线l：y=x+1,圆O：x^2+y^2=3/2，直线l被园截得弦长与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0)
的短轴长相等，椭圆的离心率e=√2 /2
1.椭圆方程为x^2/2+y^2=1(这个我会求，想问下一问)
过点M(0,-1/3)的直线l交椭圆C与A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个顶点T,使得无论l 如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由。
答案为（o,1）除了特值的其他做法？
谢谢各位的帮忙了！！！！

Answer 1

设A(X1，Y1)B(X2,Y2)T(X0，Y0)
直线l:y=kx－1／3
椭圆：x²＋2y²＝2
联立得﹙9＋18k²﹚x²－12kx－16=0
x1x2=-16／﹙9＋18k²﹚
x1＋x2＝12k／﹙9＋18k²﹚
若以AB为直径的圆恒过定点T，则∠ATB＝90°恒成立
∴[﹙y0－y1﹚／﹙x0－x1﹚]·[﹙y0－y2﹚／﹙x0－x2﹚]=-1
化简：
x0²＋y0²＋1/9＋2y0/3－﹙x0＋kyo＋k／3﹚﹙x1＋x2﹚＋﹙k²＋1﹚x1x2=0
移项，代入x1x2=-16／﹙9＋18k²﹚ x1＋x2＝12k／﹙9＋18k²﹚并左右同时乘以（9+18k²）得
﹙9x0²＋9y0²＋1＋6y0﹚﹙2k²＋1﹚=12kx0＋12y0k²＋4k²＋16k²＋16
∵左边不含k项，∴x0=0
原式变为
﹙9y0²＋1＋6y0﹚﹙2k²＋1﹚=12y0k²＋4k²＋16k²＋16
∴9y0²＋1＋6y0=6yo＋10且9y0²＋1＋6y0=16
∴y0=1
∴T为（0，1）

Answer 2

x^2/a^2+y^2/b^2=1
a^2=2b^2
b^2x^2/a^2+y^2=b^2
y=x 弦长最长D=2，D^2=4
切线时，弦长最短=0
0和2之间有整数1，
因为椭圆关于中心O（0,0）对称，因此存在2条弦长为1
(b^2/a^2+1)x^2=b^2
x1x2=-b^2/(b^2/a^2+1)=-a^2/(b^2+a^2)=-2b^4/3b^2=-2b^2/3
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=8b^2/3
弦长D^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=2(x1-x2)^2=16b^2/3=4
4b^2=3
b=√3/2

Answer 3

1

Answer 4

傻