Question

如图，在RT△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC:BC=4:3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s..同时点

从点B出发沿B-C-A方向向点A 运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动.
①求AC,BC的长
②设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm²），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围
③当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B,P,Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由
④当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM的周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

　　即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；

　　（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，

　　∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，

　　∴ ，∴QH= x，y= BPoQH= （10﹣x）o x=﹣ x2+8x（0＜x≤3），

　　②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，

　　∵AP=x，

　　∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，

　　∴ ，即： ，解得：QH′= （14﹣x），

　　∴y= PBoQH′= （10﹣x）o （14﹣x）= x2﹣ x+42（3＜x＜7）；

　　∴y与x的函数关系式为：y= ；

　　（3）∵AP=x，AQ=14﹣x，

　　∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴ ，即： ，

　　解得：x= ，PQ= ，∴PB=10﹣x= ，∴ ，

　　∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；

　　（4）存在．

　　理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，

　　∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，

　　∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，

　　∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM的周长最小值为16

Answer 2

解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即：（4x）2+（3x）2=102，
解得：x=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；
（2）分两种情况：
①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H．
∵AP=x，∴BP=10-x，BQ=2x，
∵△QHB∽△ACB，
∴QH AC =QB AB ，
∴QH=8 5 x，
y=1 2 BP•QH=1 2 （10-x）•8 5 x
=-4 5 x2+8x（0＜x≤3），
②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=x，
∴BP=10-x，AQ=14-2x，
∵△AQH′∽△ABC，
∴AQ AB =QH′ BC ，
即：14-2x 10 =QH′ 6 ，
解得：QH′=3 5 （14-2x），
∴y=1 2 PB•QH′=1 2 （10-x）•3 5 （14-2x）
=3 5 x2-51 5 x+42（3＜x＜7）；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似．理由如下：
∵AP=x，
∴AQ=14-2x，
∵PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ACB，
∴AP AC =AQ AB =PQ BC ，
即：x 8 =14-2x 10 =PQ 6 ，
解得：x=56 13 ，PQ=42 13 ，
∴PB=10-x=74 13 ，
∴PQ PB =42 13 74 13 =21 37 ≠BC AC ，
∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似．

Answer 3

（2）分两种情况：
①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H．
∵AP=x，∴BP=10-x，BQ=2x，
∵△QHB∽△ACB，
∴QHAC=
QBAB，
∴QH=85x，
y=12BP•QH=12（10-x）•85x
=-45x2+8x（0＜x≤3），

Answer 4

• ）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
  
  　　即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm