Question

在等比数列{an}中，an＞0(n∈N+),公比q∈(0,1),a1a5+2a3a5+a2a8=25,且2是a3与a5（1）求数列{an}的通项公式

（2）设bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,当S1/1+S2/2+……+Sn/n最大时，求n的值

Answer 1

解：(1)已知a1a5+2a3a5+a2a8=25,且2是a3与a5的等比中项,an＞0(n∈N+),公比q∈(0,1)

则4=a3*a5且(a1a5+2a3a5+a2a8)/a3*a5=25/4

整理得到(4q^2-1)(q^2-4)=0

得到q=1/2

a3*a5=a1^2*q^6=4

a1=16

则通项式an=16*(1/2)^(n-1)=

(2)bn=log2(an)=5-n

前n项和Sn=n(9-n)/2

从而{Sn/n}={(9-n)/2}容易看出是个等差数列

所以

S1/1+S2/2+......+Sn/n

=(-n^2+17n)/4

这是个抛物线的离散型

得到靠近对称轴的两个值n=8，9

依次代入得到n=8,9时候的数值都是18

所以满足最大值的时候的n的数值是8或者9