Question

已知数列｛an｝满足a1=1,a2=2,an+2=(an+a(n+1))/2，证明{a（n+1）-an}是等比数列

如题

Answer 1

an+2=(an+a(n+1))/2
2an+2=an+a(n+1)
2[a(n+2)-a(n+1)]=an+a(n+1)-2a(n+1)
2[a(n+2)-a(n+1)]=-[a(n+1)-a(n)]
∵ a2-a1=1≠0
∴ 可得 a(n+1)-a(n)≠0
∴ [a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-a(n)]=-1/2
∴ {a（n+1）-an}是等比数列，首项为1，公比是-1/2

Answer 2

an+2=(an+a(n+1))/2 两边同时减去一个an+1 an+2-an+1=(an+a(n+1))/2 -an+1
an+2-an+1=(an -an+1)/2 移向 an+1-an+2=-(an -an+1)/2，（an+1-an+2)/(an -an+1)=-1/2在检验一下n=1时是否成立就行了呀

Answer 3

采用构造法，在递推关系的两边同时减去2an+1 ,然后左边提出2，右边提出-1，这样就得到公比是-1/2的等比数列。