Question

已知数列{an}满足a1=1,a2=2,a(n+2)=an+a(n+1），n∈N*(1)令bn=a(n+1)-an,证明{bn}是等比数列

（2）求{an}的通项公式，急！谢谢！速答!
a(n+2)=【an+a(n+1）】/2

Answer 1

（1）证明：
2a(n+2)=an+a(n+1)
∴2[a(n+2)-a(n+1)]=an-a(n+1)=-[a(n+1)-an]
bn=a(n+1)-an,
∴2b(n+1)=-bn, 即b(n+1)/bn=-1/2
∴{bn}是等比数列

（2）
2a(n+2)=an+a(n+1)等式俩边同时减去2a(n+1)
∴2[a(n+2)-a(n+1)]=an-a(n+1)=-[a(n+1)-an]
可知a(n+1)-an是以a2-a1=1为首项，以-1/2为公比的等比数列
∴a(n+1)-an=(-1/2)^(n-1)
∴an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2),
a(n-1)-a(n-1)=(-1/2)^(n-3)
……
a2-a1=(-1/2)^0
上面各式叠加得 an-a1=(-1/2)^0+……+(-1/2)^(n-3)+(-1/2)^(n-2)
=[1-(-1/2)^(n-1)]/(1+1/2)=(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]

∴an=a1+(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]=5/3-(2/3)×(-1/2)^(n-1)=5/3+(1/3)×(-1/2)^(n-2)