Question

证明：n维向量组A和B等价的充要条件是R(A)=R(A,B)=R(B)

Answer 1

首先, B组可由A组线性表示的充分必要条件是 R(A)=R(A,B)
这是因为A组的极大无关组也是{A,B}组的极大无关组

同理, A组或由B组线性表示的充分必要条件是 R(B)=R(A,B).
故 A和B等价的充要条件是R(A)=R(A,B)=R(B)

Answer 2

首先，我们要明确等价的涵义：
设有两个向量组A和B，如果B中的每个向量都能有向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。如果向量组A与B能相互线性表示，则称这两个向量组等价
其次，明确一个定理：
向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A的秩等于矩阵（A,B）的秩，即R(A)=R(A,B)
明白这两条之后，，证明就很简单了
因为向量组A可由向量组B线性表示，可得R(B)=R(B,A)
向量组B可由向量组A线性表示，可得R(A)=R(A,B)
R(B,A)=R(A,B)
可证

Answer 3

R(A)=R(A,B)<=>B可由A线性表示；R(B)=R(A,B)
<=>A可由B线性表示,故A~B。或
R(A)=R(A,B)=>组A与组(A,B)等价（组A与组(A,B)
有相同的极大无关组），R(B)=R(A,B)=>组B与组(A,B)等价，故A~B.

Answer 4

r(a）
表示a的极大线性无关组的中向量的个数
r(a,b)
表示向量组a和b组成一个大向量组的极大线性无关组中向量的个数
r(a)=r(a,b)
的充要条件为向量组a,b等价