Question

一到数学题，步骤最好能详细点，谢谢，好的话有追加！

X1+X2+X3+...+Xn=1
X1,X2,X3,...,Xn 为n个非负实数，n>=4
求X1*X2+X2*X3+X3*X4+...X(n-1)*Xn+Xn*X1的最大值.

我觉得答案应该是1/4，请大家帮忙证下。谢谢！
105分啊！步骤详细点啊！~~
最好不要用定理那些东西
至今还是没正确答案！

Answer 1

####证明过程初中生就可以理解的方法####

太难了啊，想的累，没心情了哟，明天看看吧，
答案应该是1/4没错的.当X1=X2=1/2,X3=X4=...=Xn=0,就可以了,证明比较困难吧.改天再想吧,脑子不行列,楼主选别人好了.我自己知道不好.退出,以后有想到再告诉你好了.^_^

证明：
注解：a^x表示a的x次方.
两两分组,设X1+X2=a1,X3+X4=a2,.....,X(n-1)+Xn=am
则a1+a2+....+am=1

(X1-X2)^2>=0=======>
X1^2+2X1*X2+X2^2>=4X1*X2============>
(X1+X2)^2>=4X1*X2==========>
X1*X2<=(X1+X2)^2/4=a1^2/4
同理
X3*X4<=a2^2/4
.
.
.
X(n-1)*Xn<=am^2/4
将以上各式叠加
X1*X2+X3*X4+...+X(n-1)*Xn<=(a1^2+a2^2+...am^2)/4
因为我们知道因为X1,X2,...Xn>=0,所以有
0<=a1,a2,...am=<1
设0=<x<=1
因为
1>=x
同时乘以x,
x>=x^2
因此a1>=a1^2,a2>=a2^2,...,am>=am^2,
叠加以上的不等式,同时除以4,
就有(a1^2+a2^2+...+am^2)/4<=(a1+a2+...+am)/4=1/4
所以X1*X2+X3*X4+....+X(n-1)*Xn<=1/4
到这里我们证明了最大值不会大于1/4,但没有证明有1/4最大值,但如果能举出例子来就可以了,很简单,让X1=X2=1/2,其他都等于0,那么就有最大值1/4,
所以命题成立,问题得证.

Answer 2

从数学定理：
平方平均数>=数学平均数
可得
(X1^2+X2^2+...Xn^2)/n >= (X1+X2+...Xn/n)^2
令
t=X1*X2+X2*X3+X3*X4+...X(n-1)*Xn+Xn*X1
可得
t<= (1/2)-(1/n)
因为n>=4
所以(1/n)<=(1/4),-(1/n)>=-(1/4)
可得t<=1/4
---------------------------------------------

如果你学过多元函数微分也可以很方便解决
用带限制条件的积分
令f(X1,X2...Xn)
=X1*X2+...X(n-1)*Xn+Xn*X1+q(X1+X2+...+Xn -1)
可以得到
X2+Xn+q=0
X1+X3+q=0
....
可以得到当X1=X2=....=Xn时
f(X1,X2...Xn)取得最大值
即X1*X2+...X(n-1)*Xn+Xn*X1取得最大值

Answer 3

我来试试
答案是1/n
过程如下：

X1*X2+X2*X3+X3*X4+...X(n-1)*Xn+Xn*X1
<=1/2*[(X1^2+X2^2)+(X2^+X3^).....+(Xn- 1^2+Xn^2)+(Xn^2+X1^2)]
{注：a^x表示a的x次方}
上式=X1^2+X2^2+.......+Xn-1^2+Xn^2
=1/2*[(X1^2+X2^2)+(X2^2+X3^2)+.....(Xn^2+X1^2)]
因为上式得MAX是党X1=X2=X3=.....Xn时成立

所以当X1=X2=X3=.....Xn时所求式能取得MAX
又有已知条件X1+X2+X3+...+Xn=1
推得 此时X1=X2=X3=.....Xn=1/n
那么
X1*X2+X2*X3+X3*X4+...X(n-1)*Xn+Xn*X1
=1/n*1/n+1/n*1/n+........1/n*1/n(共有n个)
=[(1/n)^2]*n
=1/n

可能看的不很明白，没办法，屏幕上难以表达
但我担保这是正解，自己理解下吧

Answer 4

这种题目最好做了
数学里面有个叫做极限法
非常的好用
有2种极限：
1.X1=1，X2=X3=...=Xn=0
此时结果为0显然不可能
2.X1=X2=X3=...=Xn=1/n
此时结果为
n*(1/n)*(1/n)=1/n
所以结果就是1/n
个人感觉就是这样的

数学里面不只是极限法很重要，还有好多好多方法
我以前就做过专门的每个方法的训练
真的很多问题可以有麻烦化为简单

Answer 5

引理：车比雪夫不等式
(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)>=n(a1b1+a2b2+...+anbn)
(ai,bi均为正实数，等号成立时ai=aj，bi=bj)

由引理知：X1*X2+X2*X3+X3*X4+...X(n-1)*Xn+Xn*X1<=(1/n)*(X1+X2+X3+...Xn)(X1+X2+X3+...Xn)=1/n<=1/4
取等号时，x1=x2=...=xn=1/n，且n=4