Question

从斜边之长为L的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。（多元函数的极值及其求法）

Answer 1

设一直角边为x, 另一直角边为y 则 x²+y²=L²
求z=x+y的最大值（L＞x＞0,L＞y＞0,）
构造拉格朗日函数：G=x+y+λ(x²+y²-L²)
G'x=1+2xλ=0
G'y=1+2yλ=0
G'λ=x²+y²-L²=0
解得：x=y=L/√2
这是唯一驻点
必为最值点
z=√2L,
得最大周长(1+√2)L

Answer 2

一直角边为X 另一直角边为Y 则 X2+Y2=L2
求X+Y的最大值m
用图像法求解，就是直线Y=m-X与圆X2+Y2=L2的焦点中的最大m值即所求最大周长为m+L
m求的为√2L
最大值为（√2+1）L

Answer 3

设两直角边为a、√(l^2-a^2)
则周长为
a+l+√(l^2-a^2)

Answer 4

Answer 5

这个很简单啊，两直角边相等时，得最大周长
(1+√2)L