Question

微积分 求柱面：x^2+y^2=a^2被平面x+z=0及x-z=0（x>0,y>0)所截部分的面积

Answer 1

y=√(a^2-x^2)
面积S=∫∫√(1+(y'x)^2 dxdy=∫(0,a)dx∫(-x,x) a/√(a^2-x^2)dz
=2a∫(0,a) x/√(a^2-x^2)dx
=2a*(-√(a^2-x^2)) (0,a)
=2a^2

追问

S=∫∫√(1+(y'x)^2 dxdy=∫(0,a)dx∫(-x,x) a/√(a^2-x^2)dz
这步不懂诶

追答

y=√(a^2-x^2)
直接利用第一型曲面积分的定义：
曲面由y=√(a^2-x^2)给出
积分区域D={(x,z)|0<=x<=a，-x<=z<=x}
那么S=∫∫D√(1+(y'x)^2+(y'z)^2 dxdz=∫∫D√(1+(y'x)^2dxdz 因为这里y'z=0
这里y'=-x/√(a^2-x^2)，所以√(1+(y'x)^2 =a/√(a^2-x^2)
S=∫(0,a)dx∫(-x,x) a/√(a^2-x^2)dz
我也只能写这样，最好看书，看第一型曲面积分的定义和例子