Question

如图，已知A（0,2），B（1,0），点P是反比例函数y=8/x图像

如图，已知A（0,2），B（1,0），点P是反比例函数y=8/x图像上一点，当点P在什么位置时，三角形PAB面积最小？并求出此时点P的坐标

Answer 1

∵A、B是定点，∴要使S(△PAB)最小，就需要点P到AB的距离最小。
∵A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，又y＝8/x在第一、三象限上，且以两坐标轴对称，
∴点P必须在第一象限上。

作直线AB的平行线与y＝8/x相切，切点就是点P，否则点P到AB的距离就不是最小的。
显然，AB的斜率＝（0－2）/（1－0）＝－2，
∴可设过点P且与AB平行的直线为y＝－2x＋m，其中m＞0。
联立：y＝－2x＋m、y＝8/x，消去y，得：－2x＋m＝8/x，∴－2x^2＋mx＝8，
∴2x^2－mx＋8＝0。

∵直线y＝－2x＋m与y＝8/x相切，∴方程2x^2－mx＋8＝0有重根。
令点P的坐标为（k，8/k）。
∵点P在第一象限上，∴k＞0。
∵k是方程2x^2－mx＋8＝0的重根，∴由韦达定理，有：k^2＝8/2＝4，∴k＝2，∴8/k＝4。
∴点P的坐标是（2，4）。