Question

如图,在三角形ABC中,∠C为90°,AC＝6,BC＝8,M为BC中点,P为AB上一个动点（不可以和A,B重合)，并作角MPD＝90

如图,在三角形ABC中,∠C为90°,AC＝6,BC＝8,M为BC中点,P为AB上一个动点（不可以和A,B重合)，并作角MPD＝90°,PD交BC（或bc的延长线）于点D。
<1>设BP长为X,△BPM面积为Y,求Y与X之间的函数关系式,并写出X取值范围.

<2>是否存在这样的点P,是的△MPD于△ABC相似？若存在,请求出X的值,若不存在,请说明理由

Answer 1

解：（1）过P作PH⊥BC于H，则PH∥AC；
Rt△ABC中，AC=6，BC=8；则AB=10．
∵P为AB上动点可与A、B重合（与A重合BP为0，与B重合BP为10）
但是x不能等于5．
∵当x=5时，P为AB中点，PM‖AC，得到PD‖BC，PD与BC无交点，与题目已知矛盾，所以x的取值范围是，0≤x≤10 且x≠5，
易知△BPH∽△BAC，得：
PH AC =BP AB ，PH=AC•BP AB =3 5 x；
∴y=1 2 ×4×3 5 x=6 5 x（0≤x≤10 且x≠5）；
（2）当D在BC上时，
①∠PMB=∠B时，BP=PM，MH=BH=2；
MP=x，AB=10，MH=2，BC=8，
此时△MPD∽△BCA，
∴△MPD∽△MHP，
∴△MHP∽△BCA，
MP AB =MH BC ，
得：x 10 =2 8 ，解得x=5 2 ；
②∠PMB=∠A时，△DPM∽△ACB，得：DP•BA=DM•BC；
∴10x=4×8，解得x=16 5 ；
当D在BC延长线上时，
由于∠PMD＞∠B，所以只讨论∠PDM=∠B的情况；
当P、A重合时，Rt△MPD中，AC⊥MD，则∠MAC=∠PDM，
∵tan∠MAC=2 3 ，tanB=3 4 ，tan∠MAC＜tanB，
∴∠MAC＜∠B，即∠PDM＜∠B；
由于当P、A重合时，∠PDM最大，故当D在BC延长线上时，∠B＞∠PDM；
所以△PDM和△ACB不可能相似；
综上所述，存在符合条件的P点，且x=2.5或3.2

Answer 2

∵在三角形ABC中,∠C为90°,AC＝6,BC＝8
∴AB=10
∴sinB=AC/AB-6/10=3/5
又∵M为BC中点即BM=CM=1/2BC=4
∴S△BPM=(1/2)BM×BPsinB
即y=(1/2)×4×(3/5)x
=(6/5)x (0＜x＜ 10）
（2）

Answer 3

1）过P作PH⊥BC于H，则PH∥AC；
Rt△ABC中，AC=6，BC=8；则AB=10．
∵P为AB上动点可与A、B重合（与A重合BP为0，与B重合BP为10）
但是x不能等于5．
∵当x=5时，P为AB中点，PM‖AC，得到PD‖BC，PD与BC无交点，与题目已知矛盾，所以x的取值范围是，0≤x≤10 且x≠5，
易知△BPH∽△BAC，得：
$\frac{PH}{AC}=\frac{BP}{AB}$，PH=$\frac{AC•BP}{AB}$=$\frac{3}{5}$x；
∴y=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{5}$x=$\frac{6}{5}$x（0≤x≤10 且x≠5）；
（2）当D在BC上时，
①∠PMB=∠B时，BP=PM，MH=BH=2；
此时△MPD∽△BCA，得：$\frac{x}{10}=\frac{2}{8}$，解得$x=\frac{5}{2}$；
②∠PMB=∠A时，△DPM∽△ACB，得：DP•BA=DM•BC；
∴10x=4×8，解得x=$\frac{16}{5}$；
当D在BC延长线上时，
由于∠PMD＞∠B，所以只讨论∠PDM=∠B的情况；
当P、A重合时，Rt△MPD中，AC⊥MD，则∠MAC=∠PDM，
∵tan∠MAC=$\frac{2}{3}$，tanB=$\frac{3}{4}$，tan∠MAC＜tanB，
∴∠MAC＜∠B，即∠PDM＜∠B；
由于当P、A重合时，∠PDM最大，故当D在BC延长线上时，∠B＞∠PDM；
所以△PDM和△ACB不可能相似；

Answer 4

解：（1）过P作PH⊥BC于H，则PH∥AC∵∠B=∠B ∠PHB=∠C
∴ △BPH∽△BAC
∴BP：AB=PH：AC 即x：10=PH：6
∴PH=0.6x
∴y=4*0.6x*1/2=1.2 x
∵当x=5时，P为AB中点，PM‖AC，得到PD‖BC，PD与BC无交点，与题目已知矛盾，所以x的取值范围是，0<x<10 且x≠5，（0<x<10 , 且x≠5）；
（2）当D在BC上时，
①∠PMB=∠B时，BP=PM，MH=BH=2；
此时△MPD∽△BCA，
∴△BPH∽△BAC，
BP：AB =BH ：BC ，即X：10=2：8
得：x =5/2 ；
②∠PMB=∠A时，△DPM∽△ACB，∴PB：BC=BM：BA，即X：8=4：10
∴x=3.2；
当D在BC延长线上时，
由于∠PMD＞∠B，所以只讨论∠PDM=∠B的情况；
∴△BPH∽△BAC，BP：AB =BH ：BC ，即X：10=2：8
Rt△MPD中，AC⊥MD，则∠MAC=∠PDM，
∵tan∠MAC=2： 3 ，tanB=3： 4 ，tan∠MAC＜tanB，
∴∠MAC＜∠B，即∠PDM＜∠B；
由于当P、A重合时，∠PDM最大，故当D在BC延长线上时，∠B＞∠PDM；
所以△PDM和△ACB不可能相似；
综上所述，存在符合条件的P点，且x=2.5或3.2