Question

如图,G为三角形ABC的重心,AG=3,BG=4，CG=5，求三角形ABC的面积,要求有图片说明，请不要复制，谢谢！

Answer 1

解：1、△ABC中，AD、BE和CF分别是三边上的中线，G是重心。由BD=DC可证

S⊿BGD=S⊿CGD；S⊿BAD=S⊿CAD，∴S⊿BAG=S⊿CAG。

同样可证S⊿BAG=S⊿BCG，∴S⊿BCG=S⊿BAG=S⊿CAG=S⊿ABC/3。

2、∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD。

延长AD到H，使DH=GD，连接BH和CH易证BGCH是平行四边形，且GH=2GD=AG=3，

BG=4，BH=CG=5，△BHG是直角三角形，S⊿BHG=3×4/2=6；并且由HC∥BG得

S⊿BHG=S⊿BCG=S⊿ABC/3，∴S⊿ABC=3S⊿BHG=3×6=18。

Answer 2

重心，中线交点这样可得三条中线延长AG到D交BC于D AG/GD=2/1 DG=3/2 AD=9/2
9/2 6 15/2这样中线构成直角三角形面积1/2*9/2*6=27/2
三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4. 所以S=18
上边方法适合填空

延长AG,BG,CG交三角形三边D,E,F
可求AD=9/2 BE=6 CF=1/2 GD=3/2 GE=2 GF=5/2
延长GD到H使,GD=GH=3/2 GH=3 显然GBHC平行四边形 BG=CH=4 CG=5
角GHC=90 这样SBGC=1/2GBHC=GHC=1/2*3*4=6
同理AGC，AGB也可以这么求=6
S=6+6+6=18

Answer 3

延长BG交AC于N，相当于把三角形AGD割补到三角形CND，GD=DN,两个三角形全等GN=4，又因为CG=5，勾股定理得CN=3，CGN也就是ACG=6，根据重心性质三角形ABC=18