Question

已知函数f(x)=ax^2+x.若x∈[0.1]时恒有|f(x)|≤1，求实数a的取值范围

Answer 1

当a=0时，f(x)=x,定义域为[0,1]时，满足|f(x)|≤1，符合题意
当a不等于0时，易知该函数与x轴恒有2个交点，分别为（0,0）、（-1/a,0),其对称轴为x=-1/(2a)
(1)a>0,
此时 -1/a<0,二次函数开口向上，在[0,1]上单调递增且非负，要使|f(x)|≤1，必须f(1)<=1
即a+1<=1 解得 a<=0 ,这与a>0 矛盾
（2）a<0
此时 -1/a>0,二次函数开口向下，-1/2a>0
若-1/(2a)<=1, 即函数在[0.1]单调递增，必须f(1)<=1,即a+1<=1,a<=0

Answer 2

你好！

1、当a=0时，f(x)=x∈[0,1]，满足|f(x)| ≤1

2、当a>0时，开口向上，且f(x)≥0
所以只需f(x)≤1
ax²+x ≤ 1
a ≤ 1/x² - 1/x = (1/x - 1/2)² - 1/4
0<x≤1
1/x ≥ 1
(1/x - 1/2)² - 1/4 ≥ 0
要使a≤(1/x - 1/2)² - 1/4 恒成立
必须a≤0
与前提a>0矛盾

3、当a<0时，开口向下
对称轴 -1/(2a) >0

(1)当-1/2a ≥1 即 a≥ -1/2时
f(x)在[0,1]单调递增
f(x) ∈[0,a+1]
-1/2 ≤ a <0
满足 |f(x)| ≤ 1

(2)当1/2 < -1/(2a) <1 即 -1< a< - 1/2时
f(x) ∈[0,f(1/2) ] 即 [0,a/4+1/2]
a/4 + 1/2 ≤ 1 成立，满足|f(x)| ≤ 1

(3) 当 0< -1/(2a) ≤ 1/2 即 a≤ -1时
f(1) ≤ f(x) ≤ f(1/2)
即 a+1 ≤ f(x) ≤ a/4 + 1/2
则 a+1 ≥ -1 即 a≥ -2
∴ -2 ≤ a < 0

综上，a∈[ -2，0 ]