Question

函数f(x)=x^3-3x^2-a，a属于实数，若f(x)=0恰有一根。则a的取值范围？

在线等，急啊
关键是基础差不会啊，麻烦过程，谢谢

Answer 1

求导
f'(x)=3x^2-6x
令f'(x)=0
得x1=0,x2=2
因为当0<x<2时,f'(x)<0
所以f(x)在0<x<2上单调递减
同理可证f(x)在x<0和x>2上单调递增
由图像可知，（图像如字母中大写的“N”，我用的是手机，画不出来，抱歉）
即f(x)在x=0时有极大值,在x=2时有极小值
将f(x)看成是T(X)-g(x),其中T(x)=x^3-3x^2,g(x)=a
当x=0时,T(X)极大=0,当X=2时,T(x)极小=-4，根据图像，g(x)=a是一条横线，要使f(x)=0有且只有一个根，即T(x)与g(x)图像只有一个交点，
所以，只要a比T(X)极大值大或比它的极小值小即可，即a>0或a<-4

Answer 2

利用导数，分析函数图象，再结合a取值范围，分析函数与x轴交点情况。
f'(x)=3x^2-6x=0，解得f(x) 只有2个极值点。
函数图象分析三要数 增减 极值 凹凸
X 0 1 2
Y' + 极大值 - 极小值 +
Y'' 上凸 0 下凸

现在我们知道函数，
当极大值与X轴没有交点时候，函数f(x)=0恰有一根，此时
f(0)=-a<0，即a>0
当极小值与X轴没有交点时候，函数f(x)=0恰有一根，此时
f(2)=2^3-3*2^2-a>0，即 a<-4
所以，a的取值范围(-∞,-4)∪(0,+∞)

Answer 3

可以用导数求，答案是(-∞,-4)∪(0,+∞)