Question

以Rt三角形ABC的一条直角边AB为直径作圆,交斜边BC于E,F是AC的中点。求证:EF是圆O的切线

以Rt三角形ABC的一条直角边AB为直径作圆,交斜边BC于E,F是AC的中点。求证:EF是圆O的切线

Answer 1

证明：连接AE，因为AB为直径
所以角BEA为直角，所以角AEC为直角
在三角形AEC中，F为AC中点
所以EF=1/2AC=FC
所以角C等于角FEC
又因为OE、OB为半径
所以OE=OB
所以角B等于角 BEO
因为角B+角C=90度
所以角BEO+角EFC=90度
所以角OEF为90度
即OE垂直于EF
OE为半径
所以EF是圆O的切线

自己画下图就更清晰了~~

Answer 2

AB为圆直径，所以圆心为AB中点，记作O。连接AE、OE、EF
A、E在圆周上，所以OA=OE，∠AEO=∠EAO
∠AEB为直径所对圆周角，因此为90度。
AE⊥BC，△AEC为直角三角形
F为AC中点，EF为直角三角形斜边上中线
所以AF=EF，∠EAF=∠AEF
因此，∠AEF+∠AEO=∠EAF+∠EAO=∠OAF=90
EF为圆O切线