Question

（求和符号n=1到正无穷）x^n/（n^2+n）利用逐项求导或逐项求积法，求该级数在收敛区间内的和函数

Answer 1

∑x^n/（n^2+n）
=1/x∑(1,+∞)x^（n+1）/（n²+n） 收敛区间[-1,1]

【∑(1,+∞)x^（n+1）/（n²+n）】''
=【∑(1,+∞)x^n/n】'
= ∑(1,+∞)x^(n-1)=1/(1-x) (-1≤x|<1)
∑(1,+∞)x^n/n=∫1/(1-x)dx=-ln(1-x)+C ,x=0代，->C=0
∑(1,+∞)x^（n+1）/（n²+n）=∫-ln(1-x)dx=-（x+1)ln(1-x)+x+C1,x=0代，->C1=0
∑x^n/（n^2+n）
=1/x∑(1,+∞)x^（n+1）/（n²+n）=1/x*[-（x+1)ln(1-x)+x]=s(x), (-1≤x|<1,x≠0)；
∑x^n/（n^2+n）=0, （ x=0）；,
∑x^n/（n^2+n）=1/2 ( x=1).

! lim( x->0)s(x)=0, s(x)在x=0是连续的。