Question

如图,△OAB是边长为2的等边三角形,直线CD经过点A交x轴于点C,交y轴于点D。角ACB=30

1求C,D的坐标于直线CD的解析式
2.求过点O,A,C的抛物线的解析式
3.若点P是（2）中求出的抛物线AC段上的一个动点（不与A,C重合）设四边形OAPC的面积为S.求S
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Answer 1

△OAB是边长为2的等腰三角形,直线CD经过点A交x轴于点C,交y轴于点D，角ACB=30°。

(1)CD过点A(1,2)和C(4,0)。用两点式方程 (y-0)/(x-4)=(2-0)/(1-4) 2x+3y-8=0，
(2)设抛物线方程为 y=ax^2+bx+c ，代入O(0,0)、A(1,2)和C(4,0)三点坐标，有 c=0 a+b+c=2 4^2a+4b+c=0 解得 a=-2/3 b=8/3 c=0 抛物线方程为 y=-2x^2/3+8x/3=-2(x^2-4x)/3，
(3)S=S△OAC+S△APC S△OAC=√3 P点坐标为P(x,y)=P(x, -2(x^2-4x)/3)，到CD的距离为 d=∣2x+3[-2(x^2-4x)/3]-8∣/√(2^2+3^2)=∣4(x-5/2)^2+13∣/2√13 2<x<4 当x=5/2时d最大，最大值dmax=√13/2，此即△APC的AC边上的最大高，而AC=√3 则S△APCmax=√3(√13/2)/2=√39/4 Smax=√3+√39/4