Question

已知定义域为R的f(x)是奇函数,当x>=0时，f(x)=|x-a^2|-a^2,且对x∈R,恒有

已知定义域为R的f(x)是奇函数,当x>=0时，f(x)=|x-a^2|-a^2,且对x∈R,恒有f(x+1)>=f(x),则实数a的取值范围 求详细过程……

Answer 1

a=0时x>=0,f(x)=x,f(x)是R上的奇函数，∴x<0,f(x)=-f(-x)=x.对x∈R,恒有f(x+1)>=f(x).
a≠0时f(x)={x-2a^2,x>=a^2;
{-x,0<=x<a^2.
设A(a^2,-a^2),B(2a^2,0),A'(-a^2,a^2),B'(-2a^2,0),y=f(x)的图像由射线AB,A'B'和线段AA'组成。
把y=f(x)的图像向左平移1个单位，就得到y=f(x+1)的图像，
对x∈R,恒有f(x+1)>=f(x)，
∴A向左平移1个单位后在射线A'B'上或在射线A'B':y=x+2a^2(x<=-a^2)的左边，
∴-a^2>=(a^2-1)+2a^2,
∴1>=4a^2,a^2<=1/4,-1/2<=a<0,或0<a<=1/2.
综上，a的取值范围是[-1/2,1/2].