Question

已知圆o:X^2+Y^2=1和定点A(2,1),由圆外一点P（a,b)向圆引切线PQ，切点为Q，且满足PQ=PA

求|PO-PA|的最大值

Answer 1

设P(a,b),连接OQ,PO

则OQ⊥PQ

∴|PQ|²=|PO|²-1=a²+b²-1

∵|PA|=|PQ| 

∴|PA|²=|PQ|²

∴a²+b²-1=(a-2)²+(b-1)²

∴2a+b-3=0

∴P(a,b)在直线l:2x+y-3=0上

O,A在直线l:2x+y-3=0异侧

设O关于直线2x+y-3=0的对称点O'（m,n)

则 kOO'⊥l ==>   n/m*(-2)=-1

    OO'中点在l上 ==>   m+n/2-3=0

解得m=12/5, n=6/5

∴|PO-PA|=|PO'-PA|≤|AO'|

 (两边之差小于第三边

 P,A,O'三点共线取得最大值）

 |AO'|=√[(2-12/5)²+(1-6/5)²]=√5/5

 ∴|PO-PA|的最大值是√5/5