Question

高中数学。求详解

Answer 1

y=kx+b ①x^2-2y^2=1②将①代入 ②得X^2-2(kx+b) ^2=1(1-2k^2)x^2-4kbx-2b^2-1=0要证明直线y=kx+b与双曲线x^2-2y^2=1总有公共点只要证明(1-2k^2)x^2-4kbx-2b^2-1=0有解即可①当(1-2k^2)=0 即(1-2k^2)x^2-4kbx-2b^2-1=0为一元一次方程 当k不为零的时候必有解解(1-2k^2)=0得k=√2/2 或k= -(√2/2 )k不为零②当(1-2k^2)不等于零的时候 (1-2k^2)x^2-4kbx-2b^2-1=0为一元二次方程 要满足此一元二次方程有解 △>=0(4kb) ^2+4(1-2k^2)(2b^2+1)>=0b^2-k^2+1/2>=0等价于k^2<=b^2+1/2 k^2一定会小于【b^2+1/2 】的最小值因为b取任意值b^2+1/2的最小值为1/2所以k^2<=1/2所以-(√2/2 ) <=k <=(√2/2 )两种情况求并集所以k的范围为-(√2/2 ) <=k <=(√2/2 )