Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax,a∈R ⑴若h(x)=f(x)-g{(x-1)/(x+1)}在其定义域上单调递增...

已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax,a∈R ⑴若h(x)=f(x)-g{(x-1)/(x+1)}在其定义域上单调递增，求a的范围 ⑵当a=2时，是否存在K关于x方程1/2g(x)-f(1+x^2)-K=0有两个不等实数根，若存在，求出K的范围;若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)h(x)=lnx-a(x-1)/(x+1)=lnx-a+2a/(x+1)。
h'(x)=1/x-2a/(x+1)^2=[(x+1)^2-2a]/[x(x+1)^2]
或h(x)在定义域(x>0)上递增，则(x+1)^2-2a>0。
而(x+1)^2>1，所以2a<=1，即a<=1/2。
(2)设F(x)=(1/2)g(x)-f(1+x^2)-k=(x-1)/(x+1)-ln(1+x^2)-k=1-2/(x+1)-ln(1+x^2)-k。
F'(x)=2/(x+1)^2-2/(x^2+1)=-4x/[(x+1)^2(x^2+1)]。
当x<0时，F'(x)>0、F(x)递增；当x>0时，F'(x)<0、F(x)递减。
所以，F(x)的极大值(也是最大值)为F(0)=-1-k。
设F(0)=-1-k>0，则k<-1。
-k>1、1-k>2、2/(1-k)<1、2/(1-k)-1<0。
e^(1-k)>e^2>5、e^(1-k)-1>4、√[e^(1-k)-1]>2。
F[2/(1-k)-1]=-ln{1+[2/(1-k)-1]^2}<0。
F{√[e^(1-k)-1]}=-2/{√[e^(1-k)-1]+1}<0。
此时，F(x)在区间(2/(1-k)-1,0)和(0,√[e^(1-k)-1])上各有一个零点。
所以，当k<-1时，(1/2)g(x)-f(1+x^2)-k=0有两个不等实根。

Answer 2

h(x)=lnx-a(1+x)/(1-x) 因为h(x)单调增，所以h'(x)>0,
而h'(x)=1/x-a*[(x-1)'*(x+1)-(x-1)*(x+1)']/(x+1)^2=1/x-a*[(x+1)-(x-1)]/(x+1)^2=(1/x)-2a/(x+1)^2>=0
2a<=(x+1)^2/x=[x^2+2x+1]/x=(x+1/x)+2>=2根号下[x*(1/x)]+2=2+2=4
所以a<=2
（2）
当；a=2时，方程可化为 x-ln(1+x^2)-k=0
记m(x)=x-ln(1+x^2)-k m'(x)=1-(2x)/(1+x^2)=1+(1+x^2-2x)/(1+x^2)=
=(x-1)^2/(1+x)^2>=0,所以m(x)在定义域上单调增，因此不存在题设中的两根。

Answer 3

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