Question

圆内接四边形对角线互相垂直，求证：(1)一组对边的平方和等于另一组对边的平方和

(2)两条对角线之积等于两组对边之积的和;(3)经过对角线交点作其中一边的垂线,一定平分这一条边的对边.最好有详细证明过程

Answer 1

如图

 

(1)一组对边的平方和等于另一组对边的平方和

AB²＝AM²＋BM²，

CD²＝CM²＋DM²，，

∴AB²＋CD²＝AM²＋BM²＋CM²＋DM²，

同理BC²＋DA²＝AM²＋BM²＋CM²＋DM²，

∴AB²＋CD²＝BC²＋DA²。

⑵经过对角线交点作其中一边的垂线,一定平分这一条边的对边.

提示；

由∠DCA＝∠DBA＝∠AMF＝∠CME，

故EM＝EC，

同理EM＝ED，

因此EC＝ED，

即E为CD的中点；

⑶两条对角线之积等于两组对边之积的和

 

在AC上取一点N，使∠NDA＝∠CDB，

又∠DAC＝∠DBC，

∴⊿NDA∽⊿CDB，

AD/AN＝BD/BC，

∴AD·BC＝AN·BD；……………………①

由⊿NDA∽⊿CDB，

得DA/DB＝DN／DC

又由∠NDA＝∠CDB，

得∠BDA＝∠CDN，

∴⊿DAB∽⊿DNC，

∴AB／NC＝BD／CD，

∴AB·CD＝NC·BD，……………………②

由①＋②得

AD·BC＋AB·CD＝﹙AN＋NC﹚BD＝AC·BD，

即AC·BD＝AD·BC＋AB·CD。

Answer 2

其实可以百度一下

追问

……我要能百度到还提问干嘛……

Answer 3

可以来个图吗？？

追问

用坐标法，应该是自己画图建系吧