Question

证明:对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上

Answer 1

很简单啊。

如图：ABCD为一四边形，其对角线相互垂直。a、b、c、d为四条边的中点。

step1：按顺序连接abcd，根据三角形中位线定理，有ad = BD/2,且ad//BD;bc=BD/2,且bc//BD,即ad平行且等于bc，同理ab平行且等于cd。证明了abcd一个平行四边形。

step2.由于bc评选员BD，ab平行于AC。且AC与BD垂直。所以我们知道ab垂直于BD，bc垂直于AC。一个四边形中已经有三个角为90度了，所以∠abc= 90度。同理∠bcd、∠cda、∠dab均为90度。

step3.根据以上两条，证明四边形abcd为矩形(长方形)。矩形的对角线等长且平分。

step4.以矩形abcd的对角线为中心，到四个顶点a、b、c、d的长度均相等，肯定就是在一个圆上。得证。

Answer 2

解答：设对角线互相垂直的四边形ABCD，AC⊥BD，设AB、BC、CD、DA的各边中点分别是E、、FG、H，考察△DAC，∵H、G分别是DA、DC中点，∴由中位线定理得：HG∥AC，同理得：EF∥AC，∴HG∥AC∥EF，同理HE∥DB∥GF，而AC⊥DB，∴HG⊥HE，∴四边形EFGH是矩形，∴EFGH四点在同一个圆上，且圆心就是矩形对角线交点。