Question

设等比数列｛an｝的公式比q<1，前n项和为Sn.已知a3=2，S4=5S2，求｛an｝的通...

设等比数列｛an｝的公式比q<1，前n项和为Sn.已知a3=2，S4=5S2，求｛an｝的通项公式。

Answer 1

解：S4=5S2
即a1+a2+a3+a4=5a1+5a2
所以a3+a4=4a1+4a2=4(a1+a2)
即q²(a1+a2q²)=4(a1+a2)
所以q²=4
又∵q<1
所以q=-2
所以a1=a3/q²=2/4=1/2
所以｛an｝的通项公式为an=1/2*(-2)^(n-1)=(-2)^(n-1)/2
解法2：因为S4=5S2 且 q≠1
所以 a1(1-q^4)/(1-q)=5a1(1-q^2)/(1-q)
(1-q^4)=5(1-q^2)(说明a1/(1-q)≠0，所以等式两边可以同除以它)
(1+q^2)(1-q^2)=5(1-q^2)
1+q^2=5
q^2=4
又∵q<1
∴q=-2
∵a3=2
∴a1=a3/q²=2/4=1/2
∴an=1/2*(-2)^(n-1)=(-2)^(n-1)/2

Answer 2

S4=a1(1-q^4)/(1-q)=5a1(1-q^2)/(1-q)
(1+q^2)(1-q^2)=1-q^2
1+q^2=5
q^2=4
因为q<1
所以q=-2
a3=2
a1=1/2
an=1/2 (-2)^n