Question

如图，在圆O中，弦AB，CD交与点P，CM垂直AB，CN垂直CD，垂足分别为M，N，且弧AC=弧B

如图，在圆O中，弦AB，CD交与点P，CM垂直AB，CN垂直CD，垂足分别为M，N，且弧AC=弧BD，求证（1）角OMN=角ONM（2）OP垂直MN

Answer 1

1）连接OA、OB、OC、OD，OA=OB=OC=OD
∵弧AC=弧BD，∴∠AOC=∠BOD
∴∠AOC+∠COB=∠COB+∠BOD
即∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△COD（SAS），
又∵等腰三角形AOB，COD中，OM⊥AB，ON⊥CD
∴OM=ON，且AM=BM=CN=DN=AB/2=CD/2
∴∠OMN=∠ONM
2）连接CM、BN
∵弧AC=弧BD，∴AC=BD
∠CAB=∠BDC，
又∵AM=BN（已证）
∴△ACM≌△BDN（SAS），∴CM=BN
∵BM=CN（已证），MN=MN
∴△MBN≌△NCM（SSS），∴∠MBN=∠CBM，
又∵∠CPM=∠BPN，∴∠CMP=BNP
∴△CMP≌△BNP（ASA），∴MP=NP
∴△OPM≌△OPN（SSS），∴∠MOP=∠NOP
∴OP⊥MN