Question

已知圆O中弦AB⊥CD,垂足为P,线段MN过点P垂直AC于M,交BD于N,连ON

（1）探究BD与PN间的数量关系，并说明理由
（2）若PC=4，PD=6，BD=10，求ON的长

Answer 1

1）因为AB⊥CD
所以∠APC=90,
所以∠A+∠C=90，
因为PM⊥AC
所以AMP=90
即∠A+∠APM=90
所以∠C=∠APM,
因为∠BPN=∠APM
所以∠C=∠BPN
因为∠C=∠B
所以∠B=∠BPN
所以PN=BN
同理∠D=∠DPN
所以NP=BD
所以BN=DN=PN
所以PN=BD/2
2)过O作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足为E,F,连OB，得矩形PEOF,
所以OF=PE,
在直角三角形BDP中，PD=6,BD=10,
由勾股定理，得BP=8,
由相交弦定理，得PA*PB=PC*PD
即8PA=4×6，
解得PA=3,
因为PC+PD=4+6=10=BD
所以ON=OF,
因为OE⊥AB,
所以AE=BE=AB/2=11/2,
所以PE=AE-AP=11/2-3=5/2
所以ON=OF=PE=5/2