Question

如图,已知圆O的直径AB=8,半径OC垂直AB,且OC是O1的直径,圆O2分别与圆O外切,与圆O1外切,与AB相切.

如图，已知圆O的直径AB=8,半径OC垂直AB，且OC是O1的直径，圆O2分别与圆O外切、与圆O1外切、与AB相切。
（1）求证：圆O1分别与AB、圆O相切
（2）求圆2的半径长

Answer 1

郭敦顒回答：
（1）∵AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB,且OC是⊙O₁的直径，
∴⊙O₁与AB相切于O，⊙O₁与⊙O相切于C。
（2）∵AB=8，⊙O₂分别与⊙O外切、与⊙O₁外切、与AB相切，
∴C、O、O₂在一条直线上，⊙O₂的半径O₂O=O₁O=OC/2=AB/4=2，
⊙O₂的半径O₂O=2。

追问

答案错了

追答

郭敦顒继续回答：

不是答案错了，是这题条件给的宽松，应有两个答案（解，结果），⊙O₂的半径O₂O=2是其中之一；其二是⊙Q的半径r=QE=QF=QG=1。

证明：

⊙O₁与⊙O相切于C，与AB相切于O；

⊙O₂与⊙O相切于D，与⊙O₁相切于O，与AB相切于O（AB是公切线）；

⊙Q与⊙O相切于E，与⊙O₁相切于F，与AB相切于G。

作QP⊥OO₁于P，则PQ=OG，OP=QG=r，

在Rt⊿OGQ中，OQ=OE－QE=4－r，

OG²=OQ²－QG²=（4－r）²－r²=16－8r，

在Rt⊿PQO₁中，O₁Q=O₁F+FQ=2+r，PO₁=OO₁－OP=2－r，

PQ=O₁Q²－PO₁²=（2+r）²－（2－r）²=8r，

∴8r=16－8r， 16r=16，

∴r=1

                       C

 

 

 

                    O₁        F        E 

                     P              Q

 

   A                O                    B 

                                  G    

 

                    O₂

 

 

                      

                       D   

（图中未画出各个圆，但有圆心，半径和切点。）