Question

初2几何题，求解答

△ABC中，∠ACB=45°，∠A=90°，BD平分∠ABC，CH⊥BD交BD的延长线于H。求证BD=2CH

Answer 1

由∠ACB=45°,∠BAC=90°,可知AB=AC，

延长CH交BA的延长线于E，∵CH⊥BD，CA⊥BA，∴∠ACE=∠ABD,

则Rt⊿ACE≌Rt⊿ABD,得CE=BD.。

∵∠CBH=∠EBH,CH⊥BD,可证Rt⊿CBH≌Rt⊿EBH,得CH=HE,

那么BD=CE=CH+HE=2CH.。

追问

为什么CH⊥BD，CA⊥BA，所以∠ACE=∠ABD？

追答

在直角三角形ACE中，∠ACE是∠E的余角；在直角三角形EBH中∠ABD也是∠E的余角，因为同角的余角相等，所以∠ACE=∠ABD。
也可以观察直角三角形CHD与ABD,∠ACE=90°-∠CDH；∠ABD=90°-∠BDA,而∠CDH=∠BDA,所以∠ACE=∠ABD。