Question

已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)经过点P(-1，-√2/2)，两焦点为F1、F

已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)经过点P(-1，-√2/2)，两焦点为F1、F2，短轴的一个端点为D，且向量DF1*向量DF2=0 (1)求椭圆的方程 (2)直线l恒过点(0，1/3)，且交椭圆C于A、B两点，证明:以AB为直径的圆恒过定点T(0，1)

Answer 1

向量DF1和DF2垂直且模相等，△DF1F2，△DF1O,△DF2O均为等腰直角三角形，则：|DF1|=|OD|*√2=|DF2|，又|OD|=b=|OF1|=|OF2|=c，根据b=√（a^2-c^2）.有：a=b*√2=c*√2
方程可重列为：x²/(2b²)+y²/b²=1，
带入P点坐标可得：b=1=c，a=√2；
椭圆方程为：x²/2+y²=1；
②、设A(x1,y1) B(x2,y2)
联立y=kx+1/3, x²/2+y²=1
整理得:(9+18k²)x²+12kx-16=0
Δ=144k²+4(18k²+9)*16>0，
由韦达定理:x1+x2=-4k/(3+6k²). x1x2=(-16)/(9+18k²)
所以y1y2=k²x1x2+(x1+x2)*k/3+1/9=(1-18k²)/(9+18k²);
y1+y2=k(x1+x2)+2/3=-4k²/(3+6k²)+2/3=2/(3+6k²),
圆心M坐标：(-2k/(3+6k²),1/(3+6k²));
|AB|/2=√((x1+x2)²+(y1+y2)²=。。。
验证|MT|=|AB|/2即可..

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你TM在逗我

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