Question

已知定义域为（0，正无穷）的函数f(x)满足对任意（1）x∈（0，正无穷），恒有f(2x)=2f(x)成立

（2）当x∈（1，2]时，f(x)=2-x 给出如下结论 正确的是？ 1对任意m属于Z，有f（2^m)=0
2.函数f(x)的值域为[0,正无穷）
3.存在n∈Z， 使得f(2的n次幂+1)=9

Answer 1

解：①f（2m）=f（2�6�12m-1）=2f（2m-1）=…=2m-1f（2）=0，正确；
②取x∈（2m，2m+1），则x2m∈（1，2]；f（x2m）=2-x2m，从而f（x）=2f（x2）=…=2mf（x2m）=2m+1-x，其中，m=0，1，2，…
从而f（x）∈[0，+∞），正确；
③由②得f（x）=2m+1-x，令x=2n+1，则有f（2n+1）=2m+1-2n-1，
假设存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，2x1-2x2=10，
又2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；
④根据前面的f（x）=2m+1-x，x位于（a b）时，故f（x）是递减的，容易知道该选项正确；
综合有正确的序号是①②④．
故答案为①②④．