Question

初中数学中考的一道题，求详解

如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为？
快点啊，在线等啊。

Answer 1

这个图你能看明白吧!由两点之间线段最短可得：当A1.M.N.A2在同一直线时，A1A2最短

就是当A1.M.N.A2在同一直线时，△AMN的周长最小，此时

由对称性得：∠AMN+∠ANM=2∠A1+2∠A2=2(∠A2+∠A2)=2*60°=120 °

Answer 2

∠AMN+∠ANM=120°
延长AB到A'使BA'=AB，延长AE到A''使AE=EA''，那么A'A''与BC，ED的交点即为所求的M和N，
∠AMN+∠ANM＝2∠A'+2∠A''=2(180-∠BAE)=120°

追问

有点搞不懂..怎样证明点A'M,N,A''在同一条直线上呢？

Answer 3

延长AB到P使BP=AB，延长AE到Q使EQ=AE，连接PM,NQ
由两点之间线段最短可得：当P.M.N.Q在同一直线时，PQ最短
就是当P.M.N.Q在同一直线时，△AMN的周长最小，此时
由对称性得：∠AMN+∠ANM=2∠P+2∠Q=2(∠P+∠Q)=2*60°=120 °

Answer 4

延长AB到A'使BA'=AB，延长AE到A''使AE=EA'' 连接A'A于bc，ed交点即为所求 ∠AMN+∠ANM＝2∠A'+2∠A''=2(180-∠BAE)=120°因为三角形周长=am+an+mn mn不变，am与an变 am+an+mn=mn+EA''+BA' 按照以上做法，此时，3条线段恰好共线。即距离最短

Answer 5

连接AC，AD。AC=√2，AD=2√2。
∵ ∠A=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC=1,AE=DE=2,
∴ ∠CAB=∠DAE=45°,∠CAD=120°-∠CAB-∠DAE=30°。
在△ACD中AC=√2，AD=2√2,∠CAD=30°，则△ACD是直角三角形。
则M点与C点，N点与D点重合时，△AMN周长最小
最小周长=√2+2√2+√6=3√2+√6