Question

∫(2x-1)∕√(1-x^2)dx的不定积分,用第二类换元法做，今晚急用

Answer 1

第一题：
原式＝∫［2x/√（1－x^2）］dx－∫［1/√（1－x^2）］dx
　　＝∫［1/√（1－x^2）］d（x^2）－arcsinx
　　＝－∫［1/√（1－x^2）］d（1－x^2）－arcsinx
　　＝－2√（1－x^2）－arcsinx＋C

第二题：
原式＝∫｛［1－（cosx）^2］^2/（cosx）^2｝dx
　　＝∫［1/（cosx）^2］dx－2∫dx＋∫（cosx）^2dx
　　＝tanx－2x＋（1/2）∫（1＋cos2x）dx
　　＝tanx－2x＋（1/2）∫dx＋（1/4）∫cos2xd（2x）
　　＝tanx－2x＋x/2＋（1/4）sin2x＋C
　　＝tanx－3x/2＋（1/4）sin2x＋C

第三题：
原式＝∫｛1/［1＋（tanx）^2］d（tanx）＝arctan（tanx）＋C

第四题：
原式＝∫｛1/［（3＋x）（3－x）］｝dx
　　＝（1/6）∫｛［（3＋x）＋（3－x）］/［（3＋x）（3－x）］｝dx
　　＝（1/6）∫［1/（3－x）］dx＋（1/6）∫［1/（3＋x）］dx
　　＝（1/6）ln｜3＋x｜－（1/6）ln｜3－x｜＋C

第五题：
原式＝（1/2）∫cos2xdx＋（1/2）∫cos4xdx
　　＝（1/4）∫cos2xd（2x）＋（1/8）∫cos4xd（4x）
　　＝（1/4）sin2x＋（1/8）sin4x＋C

追问

嗯，你会这道题不∫dx/[cos(a-bx)]^2，最好能用第二类换元法

追答

嗯嗯 能否采纳 谢谢

Answer 2

令x=sinz，dx=cosz dz，cosz=√(1-x²)
∫ x²/√(1-x²) dx = ∫ sin²z*cosz/√(1-sin²z) dz
= ∫ sin²z*cosz/cosz dz
= ∫ sin²z dz
= (1/2)∫ (1-cos2z) dz
= (1/2)(z-1/2*sin2z) + C
= (1/2)z-1/2*sinz*cosz + C
= (1/2)arcsinx - 1/2*x*√(1-x²) + C
= (1/2)[arcsinx - x√(1-x²)] + C

追问

你好像看错题目了哈，是∫(2x-1)∕√(1-x^2)dx，不是∫ x²/√(1-x²) dx 额