Question

一道高数题： 设f（u）为连续函数，证明：见图片

Answer 1

设A点是(0,0) B点(a,b) ， 不妨设a>0,b>0 (其他情况的结果一样，无须赘述)
原式=∫【A,B】f(x+y)(dx+dy)
=∫【A,B】f(x+y)dx+f(x+y)dy
记 =∫【A,B】Pdx+Qdy
əP/əy=f ' (x+y) =əQə/x
由格林公式： 此曲线积分与路径无关，
故取折线y=0(0<x<a),及x=a(0<y<b)
原式=∫【A,B】f(x+y)(dx+dy)
=∫[0,a] f(x+0)dx+∫[0,b]f(a+y)dy)
=∫[0,a] f(x)dx+∫[a,a+b]f(u)du
=∫[0,a+b]f(u)du

Answer 2

考虑变上限积分 ：F(x)=积分（从0到x）f(u)du，则F'(x)=f(x)。令g(x,y)=F(x+y)，则
ag/ax=F'(x+y)=f(x+y)，ag/ay=f(x+y)，故g是向量场（f(x+y)，f(x+y)）的一个势函数。
于是曲线积分 f(x+y)dx+f(x+y)dy与路径无关，且积分值为势函数g(x+y)在终点的值减去起点的值，
故题目给定的从（0,0）到（a，b)的积分=g(a,b)-g(0,0)=F(a+b)-F(0,0)
=积分（从0到a+b）f(u)du

Answer 3

设A点是(0,0)
B点(a,b)
，
不妨设a>0,b>0
(其他情况的结果一样，无须赘述)
原式=∫【A,B】f(x+y)(dx+dy)
=∫【A,B】f(x+y)dx+f(x+y)dy
记
=∫【A,B】Pdx+Qdy
əP/əy=f
'
(x+y)
=əQə/x
由格林公式:
此曲线积分与路径无关，
故取折线y=0(0<x<a),及x=a(0<y<b)
原式=∫【A,B】f(x+y)(dx+dy)
=∫[0,a]
f(x+0)dx+∫[0,b]f(a+y)dy)
=∫[0,a]
f(x)dx+∫[a,a+b]f(u)du
=∫[0,a+b]f(u)du

Answer 4

令x+y=u,则du=dx+dy, f(x+y)=f(u)