Question

高数-定积分-习题5-3第1题（8）

不要用csc和cot，这两个我不熟

Answer 1

这个题目要换元，三角函数中经常会用到正割余割，考研的话是必须掌握的。

Answer 2

三角是比较难的

Answer 3

用三角函数更简单直接。 也可以先采用倒数代换，再换元（去无理式）。
令 t = 1/x, dt = (﹣1/x²)dx
I = ﹣ ∫[√2,1] √(1-1/t²) dt
= ∫[1,√2] (1/t) √(t²﹣1) dt 令 u = √(t²﹣1) , u²+1 = t², u du = t dt
= ∫[0,1] u²/(1+u²) du
= u ﹣ arctanu | [0,1]
= 1 ﹣ π/4

追问

什么时候可以用倒数法呢？我总找不到规律

追答

一般是分母为 x 或 x² 时。

追问

那这个时候不就可以令x=secx或tanx什么的了吗

追答

三角代换也可以，有时很方便。也是为了将无理式化为有理式。