Question

数学：高等代数：这道题怎么解？求清楚详细解答！勿清楚请勿答！

Answer 1

如果知道一个常用的结论，这题一步可以完成了，即线性方程组AX=0和A'AX=0同解（A'表示A转置）。由于同解，故它们的基础解系中包含的向量个数相同，即n-r(A'A)=n-r(A)，得到r(A'A)=r(A)。下面证明A'AX=0和AX=0同解：在AX=0两边左乘A'，得A'AX=0，即AX=0的解都是A'AX=0的解，在A'AX=0两边左乘X‘，得X'A'AX=0，(AX)'AX=0，令Y=AX，则Y'Y=y1^2+...+yn^2=0，因此y1=...=yn=0，即Y=AX=0，所以A'AX=0的解都是AX=0的解，这就证明了A'AX=0与AX=0同解。

追问

在A'AX=0两边左乘X‘，得X'A'AX=0 ，(AX)'AX=0，令Y=AX，则Y'Y=y1^2+...+y n^2=0，因此y1=...=yn=0，即Y=AX=0， 所以A'AX=0的解都是AX=0的解，这就证 明了A'AX=0与AX=0同解。——这个为什么还要写，而且都看不懂你这里说什么，也不知道为什么写它

追答

前面在AX=0两边左乘A'，得A'AX=0，这只能证明AX=0的解都是A'AX=0的解，而A'AX=0的解是不是AX=0的解还不一定呢，你复制的那段就是证明这个的。

追问

你怎么知道它是对角矩阵：“令Y=AX，则Y'Y=y1^2+...+y n^2=0，因此y1=...=yn=0，即Y=AX=0，”？

追答

这和对角矩阵有啥关系？Y=AX也是一个n维向量，设Y=(y1,y2,,,yn)'，则Y'Y根据矩阵乘法的定义就等于y1^2+...yn^2